모나리자를 더 대칭적으로 만들면 어떻게 될까요?

 

Marc Piasecki/Getty 이미지의 사진

마닐수리University of Maryland-Baltimore County의 저명한 수학 교수이자 여러 권의 책,
가장 최근에는 The Big Bang of Numbers: How to Build the Universe Using Only Math (2022)의 저자입니다.

편집자샘 하셀비

Margaret Wolfe Hungerford는 그녀의 소설 Molly Bawn (1878) 에서 '아름다움은 보는 사람의 눈에 달려 있습니다.
 William Shakespeare는 Love's Labour's Lost 에서 비슷한 진술을 했습니다 ('아름다움은 눈의 판단으로 산다'). 그리고 그러한 감정은 플라톤에게도 귀속되었습니다.

그러나 수세기 동안 사람들은 이 형언할 수 없는 아름다움(더 넓게는 미학)의 특성을 특징짓는 객관적인 방법을 찾으려고 노력해 왔습니다.
 특정 모양이나 형태가 다른 것보다 더 매력적입니까? 보편적인 규범을 준수한다는 측면에서 시각적 호소력을 체계화하거나 예측할 수 있습니까? 아름다움에 대한 공식,
루브릭,
 그것을 측정하는 방법이 있습니까?

아름다움과 미학을 수학적 용어로 구성하려는 초기 시도 중 일부는 르네상스 시대에 나타났습니다.
 예를 들어,
기원전 1세기 에 Vitruvius 가 제안한 아이디어에서 영감을 받은 Andrea Palladio는 오늘날까지 살아남은 건축에 대한 자세한 정량적 권장 사항을 제시했습니다.
 이 시기에 인기를 얻은 가장 오래 지속되는 비유 중 하나는 고대 그리스인들이 알고 있던 대략 1.618에 해당하는 숫자인 황금 비율의 것이며,
 기원전 300 년 유클리드의 기념비적인 작품인 원소 에서 논의되었습니다 . 예술과 신학을 모두 공부한 이탈리아 수학자 루카 파치올리(Luca Pacioli)는 그의 3권으로 된 저서 Divina 비례 의 출판으로 이러한 대중화를 시작했습니다.
(1509) 또는 '신성한 비율',
황금 비율에 대한 그의 명칭.

Pacioli는 그 효과를 설명하기 위해 'essential',
'wonderful',
'supreme'과 같은 언어를 사용하고 특히 비율에 측면이 있는 직사각형을 만들어 형성되는 Golden Rectangle의 조화를 선전하는 등 비율을 극찬했습니다.
1:1.618. Pacioli에게서 수학을 배운 그의 친구이자 위대한 Leonardo da Vinci 가 그의 책 에 60개의 그림 을 기고했다는 사실이 그의 메시지를 손상시키지 않았을 것입니다 .

대칭은 건강을 나타내므로 생식 배우자가 되기에 적합함을 나타냅니다.
 얼굴 부위에 결함이 있거나 팔다리가 없는 경우가 없습니다.

다빈치 가 황금 비율에 매혹되어 일부 학자들이 확립하려고 시도한 것처럼 자신의 작업에 황금 비율을 통합 했는지 여부 는 논쟁 의 여지가 있습니다.
 부인할 수 없는 것은 이 비율이 특히 인간의 눈에 즐거운 비율로서 Pacioli가 홍보한 것과는 달리 신비로운 특성을 획득했다는 것입니다.
 황금 직사각형이 피실험자들이 가장 선호하는 직사각형 모양인지,
그리고 매력적이라고 ​​여겨지는 얼굴의 비율이 황금 비율에 더 가까운지 여부 를 테스트 하기 위한 연구(대부분 결정적이지 않음)가 수행되었습니다 . 모나리자의 아름다움은 비율에서 비롯된다는 대중적인 개념을 강조하기 위해 인터넷에서 황금 사각형을 들여다보는 모나리자를 자주 볼 수 있습니다.

 

 

아름다움의 주요 공헌자로서 수많은 역사적 인물(플라톤,
아리스토텔레스 및 비트루비우스 포함)이 발전시킨 또 다른 수학적 특성이 있습니다 . 바로 대칭입니다.
 인간의 얼굴(및 신체)에 관한 한 대칭이 매력적인 이유는 설명 할 수 있습니다.
진화론적 이유에 기반 - 대칭은 건강을 나타내며,
따라서 생식 배우자가 되기에 적합함을 나타냅니다.
 결함이 있는 얼굴 부분이나 팔다리가 없습니다.
 이 생물학적 기준은 좌우 대칭,
즉 왼쪽과 오른쪽이 서로 거울상인 경우에만 적용됩니다.
 그러나 디자인은 종종 미학적 이유로 추가 대칭을 통합할 수 있습니다.
예를 들어 한 축이 아닌 여러 축에 걸쳐 이미지를 미러링합니다.
 이러한 대칭은 예를 들어 페르시아와 무굴 샤르바그 정원,
이슬람 예술,
예술가 MC 에셔의패턴,
더 일반적으로 다각형 모양. 직사각형은 두 축에 걸쳐 거울 대칭이고 정사각형은 네 축에 걸쳐 있습니다.
 앞으로 보게 되겠지만 정팔각형은 8개의 대칭 축을 가지고 있습니다.
 1832년 총기 결투에서 죽기 전날 밤 머리 속에 있는 모든 정리를 종이에 적었던 프랑스 수학자 에바리스트 갈루아는 종종 물체의 특성을 정확하게 특성화하는 방법을 제공하는 수학의 한 분야인 군론의 창시자로 여겨집니다.
대칭.

 

 

개체의 대칭성을 높이면 미적 매력이 향상됩니까? 둘 사이의 형식적인 연결은 1933년 하버드 수학자 조지 데이비드 버코프(George David Birkhoff)에 의해 제안 되었는데,
그는 물체 의 '미적 척도' M 이 그것의 '순서' O 를 그것의 '복잡성' C 로 나눈 것과 같다는 수학 공식을 개발했습니다 . Birkhoff 자신이 고백했듯이 그러한 용어를 정의하는 것은 숫자 값을 부여하는 것보다 훨씬 어렵습니다.
 그 이후로 Birkhoff의 논문을 실험을 통해 검토하거나 그의 추측 공식에 대한 대안을 제안하는 여러 모순된 연구 가 있었습니다(예: M 대신 M = O × C ).= O ÷ C ). 그러나 이 모든 상반된 작업에서 두 ​​가지 광범위한 합의점이 나타납니다.
첫째,
질서가 증가할 때 미적 척도가 증가하고,
둘째,
이 질서는 대칭이 더 많은 물체일수록 더 크다는 것입니다.
 즉,
개체를 더 대칭적으로 만들면 더 아름다워집니다.

그녀는 뾰족한 두개골과 Gérard Depardieu 코로 약간 멍해 보입니다.

우리는 많은 사람들이 주장한 것처럼 아름다움에 대한 황금 비율 기준을 잘 준수 하는 모나리자 로 이것을 테스트할 것입니다.
 하지만 대칭에 기반한 대안적 기준에 관해서는,
그녀는 양측 대칭 테스트조차 실패하는 약간 바보입니다.
 따라서 그녀를 좀 더 대칭적으로 만들어서 그녀에게 수학적 변신을 제공하고 그 과정에서 그녀가 더 아름다워지는지 봅시다.

 

 

오른쪽 얼굴의 왼쪽 절반을 복제하여 시작합니다(원래 크기로 복원하려면 약간 늘려야 함). 불행히도 이것은 잘 작동하지 않습니다.
뾰족한 두개골과 Gérard Depardieu 코로 그녀를 약간 멍하게 보이게 만듭니다.
 그러나 계속해서 잘라내고 붙여넣고 크기를 조정하여 그녀를 더욱 대칭적으로 만듭니다.
 이와 같이:

 

 

이것은 더 추하고 아름답지 않다고 지적할 수 있습니다.
 그러나 수학자들이 기뻐하는 소리를 들을 수 있습니다.
왜냐하면 Mona는 이제 직사각형과 같은 방식으로 수평축 과 수직축 모두에서 대칭이기 때문입니다! 따라서 계속하겠습니다.
Mona를 4분의 1로 자르고 상단 웨지 사본 4개를 붙여서 전체를 만듭니다.

 

 

좋아,
나는 그녀가 불길한 축구공처럼 약간 부풀어 보이기 시작했다는 것을 인정한다.
 그러나 그녀는 이제 대각선을 가로질러 대칭이 됩니다.
즉,
그녀는 정사각형과 같은 대칭 수준으로 상승했습니다! 그리고 같은 쐐기를 가져다가 더 얇은 삼각형으로 축소하고 8개의 사본을 함께 붙이면 팔각형이 됩니다.
 (8개의 대칭 축을 찾을 수 있는지 확인하십시오.) 12개의 사본 이 함께 들어갈 수 있도록 더 축소하면 12각형이 됩니다.

 

 

뭔가 변하고 있어,
알아차렸어? 마법을 발휘하는 대칭입니다.
 Mona는 꽃무늬 식탁보 같은 방식으로 다시 아름다워지고 있습니다.
 따라서 각 쐐기를 관리할 수 있는 가장 얇은 조각으로 줄인 다음 들어갈 수 있는 만큼 함께 붙여넣습니다 .

 

 

이제 한도 내에서 어떤 일이 일어날지 알 수 있습니다.
 그녀의 마지막 변신에서 Mona는 가장 대칭적인 모습인 원으로 환생할 것입니다.
 그녀의 본질은 여전히 ​​디스크에 스며들지만 혼합되고 추상적 인 방식으로 나타납니다.

등장한 것은 완전히 새로운 미학입니다.
매우 기하학적이고 매우 질서 정연하며 원래 Mona Lisa의 황금 사각형 매력과는 매우 다릅니다.
 아마도 이것은 Plato와 Galois,
Birkhoff가 포착하려고 했던 것의 증류일 것입니다.

이는 개인의 취향 차이를 넘어선 보편적인 아름다움의 기준을 찾는 데 어려움이 있음을 지적합니다.
 우리가 탐구한 두 가지 휴리스틱인 황금 비율과 대칭은 둘 다 보편적으로 높이 평가되는 아름다움을 낳을 수 있습니다.
 그러나 그 결과로 나타나는 미학은 본질적으로 서로 상충된다.
이러한 질문은 모든 것을 수치로 평가해야 하는 디지털 시대에 더욱 중요해졌습니다.
 아름다움을 평가하는 수학적 방법에 대한 탐구는 업로드된 얼굴 사진을 기반으로 매력 점수를 내뱉는 AI 웹 사이트,
 성형 수술 지침 제공을 목표로 하는 의학 연구 등 다양한 맥락에서 발생했습니다.